Probabilités d'une réunion et d'une intersection

Propriété

On considère une expérience aléatoire d'univers \(\Omega\) comportant un nombre fini d'issues. Soit \(A\) et \(B\) deux événements. On définit une loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire. Alors, on a :

• \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)\(\)
  
• \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
  

 Démonstration

On raisonne sur un exemple générique. On prend \(n=5\) et on considère que \(\Omega=\{\omega_1;\omega_2;\omega_3;\omega_4;\omega_5\}\), \(A=\{\omega_1;\omega_2\}\) (en vert) et \(B=\{\omega_2;\omega_3;\omega_5\}\) (en rouge).
Alors \(A\cap B=\{\omega_2\}\) et \(A\cup B=\{\omega_1;\omega_2;\omega_3;\omega_5\}\).
On a : \(P(A)+P(B)-P(A\cap B)=p_1+p_2+p_2+p_3+p_5-p_2=p_1+p_2+p_3+p_5\)
\(P(A\cup B)=p_1+p_2+p_3+p_5\)
On a bien l'égalité annoncée.

\(A\cup \overline{A}=\Omega\) et \(A\cap\overline{A}=\emptyset\) donc \(1=P(\Omega)=P(A\cup\overline{A})=P(A)+P(\overline{A})-P(\emptyset)\)
Par conséquent \(P(A)+P(\overline{A})=1\Leftrightarrow P(\overline{A})=1-P(A)\)

Remarque

L'événement impossible \(\emptyset\) est l'événement contraire de l'événement certain \(\Omega\). On a bien : \(P(\emptyset)=1-P(\Omega)=1-1=0\).

Propriété

On considère une expérience aléatoire d'univers \(\Omega\) comportant un nombre fini d'issues. Soit \(A\) et \(B\) deux événements incompatibles. On définit une loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire. Alors, on a : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).

Démonstration

Dire que les événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles signifie que \(A\cap B=\emptyset\).
On a donc :
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(\emptyset)\)
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-0\)

Exemple

L'expérience aléatoire consiste à lancer un dé pipé à \(6\) faces. Le dé étant truqué, on ne connaît pas la probabilité de sortie de chacune des faces. Afin de les obtenir, on lance le dé un grand nombre de fois et on note les fréquences observées. On définit ainsi la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Issues}&1&2&3&4&5&6\\\hline\text{Probabilités}&0,1&0,3&0,1&0,2&0,15&0,15\\\hline\end{array}\)

On considère l'événement \(A\) : "Obtenir un nombre pair".
\(A=\{2;4;6\}\).
\(P(A)=0,65\)

On considère l'événement \(B\) : "Obtenir un multiple de \(3\)". 
\(B=\{3;6\}\).
\(P(B)=0,25\)

On a aussi :

• \(\overline{A}=\{1;3;5\}\) donc \(P(\overline{A})=P(1)+P(3)+P(5)=0,1+0,1+0,15=0,35\)
  
• \(A\cap B=\{6\}\) donc \(P(A\cap B)=P(6)=0,15\)
  
• \(A\cup B=\{2;3;4;6\}\) donc\(P(A\cup B)=P(2)+P(3)+P(4)+P(6)=0,3+0,1+0,2+0,15=0,75\)
  

On retrouve ce résultat par l'égalité :
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,65+0,25-0,15=0,75\).